円周角② 円周角の定理の証明
円周角の定理（円周角 = 中心角の半分）を証明します。
📘 例題①（証明）
円の中心 O、円周上の点 A, B, C で、∠APB（P は弧 AB 上にない方の円周上の点）が中心角 ∠AOB の半分であることを示しなさい。
解答（証明の骨子）：OA=OB=OP（半径）より △OAP、△OBP は二等辺三角形。
外角の性質：∠AOC = 2∠OAP = 2∠APC（二等辺三角形の性質）（C は OP 延長と円の交点）。
同様に ∠BOC = 2∠BPC。
∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 2∠APC - 2∠BPC = 2∠APB。
円の中心 O、円周上の点 A, B, C で、∠APB（P は弧 AB 上にない方の円周上の点）が中心角 ∠AOB の半分であることを示しなさい。
解答（証明の骨子）：OA=OB=OP（半径）より △OAP、△OBP は二等辺三角形。
外角の性質：∠AOC = 2∠OAP = 2∠APC（二等辺三角形の性質）（C は OP 延長と円の交点）。
同様に ∠BOC = 2∠BPC。
∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 2∠APC - 2∠BPC = 2∠APB。
💡 ポイント
- 証明に使う道具：二等辺三角形の性質・外角の定理
- 中心から補助線（半径）を引くのがコツ
練習問題
- 半円の弧 AB に対して、円周上の点 P での円周角 ∠APB は何度になりますか。中心角を使って説明しなさい。
解答・解説
- 解答：90°。半円の中心角 = 180°。円周角 = 180 ÷ 2 = 90°。