平面ベクトル③ 成分表示
座標平面の中でベクトルを「成分」で表すと、計算がしやすくなります。
基本ベクトルと成分
x 軸方向の単位ベクトル →e₁=(1, 0)、y 軸方向の単位ベクトル →e₂=(0, 1) を用いて、任意の平面ベクトルは
→a = a₁→e₁ + a₂→e₂ = (a₁, a₂) と一意に表せる。
成分での和・差・実数倍
→a = (a₁, a₂)、→b = (b₁, b₂)、k を実数とすると、
→a + →b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
→a − →b = (a₁ − b₁, a₂ − b₂)
k→a = (ka₁, ka₂)
📘 例題①
→a=(3, −2)、→b=(−1, 4) のとき、2→a − 3→b の成分を求めなさい。
解答：2→a=(6, −4)、3→b=(−3, 12)。差は (9, −16)。
→a=(3, −2)、→b=(−1, 4) のとき、2→a − 3→b の成分を求めなさい。
解答：2→a=(6, −4)、3→b=(−3, 12)。差は (9, −16)。
大きさと 2 点間ベクトル
|→a| = √(a₁² + a₂²)。A(a₁, a₂)、B(b₁, b₂) のとき
→AB = (b₁ − a₁, b₂ − a₂) （終点 − 始点）
|→AB| = √((b₁−a₁)² + (b₂−a₂)²)
📘 例題②
A(1, −3)、B(4, 1) のとき、→AB の成分と |→AB| を求めなさい。
解答：→AB=(3, 4)、|→AB|=√(9+16)=√25=5。
A(1, −3)、B(4, 1) のとき、→AB の成分と |→AB| を求めなさい。
解答：→AB=(3, 4)、|→AB|=√(9+16)=√25=5。
平行条件（成分）
→a=(a₁, a₂) ≠ →0、→b=(b₁, b₂) ≠ →0 のとき、→a ∥ →b ⇔ a₁b₂ − a₂b₁ = 0。
💡 ポイント
- 成分の和・差・実数倍は各成分ごとに計算
- |→a| = √(a₁² + a₂²)
- →AB =（終点）−（始点）の成分
- 平行条件：a₁b₂ − a₂b₁ = 0
練習問題
- →a=(2,−1)、→b=(−3,4) のとき、3→a + 2→b の成分と大きさを求めなさい。
- A(−2, 5)、B(3, −7) のとき、|→AB| を求めなさい。
- →a=(3, k)、→b=(−6, 4) が平行になる k を求めなさい。
解答・解説
- 解答：(0, 5)、大きさ 5
解説：3→a=(6,−3)、2→b=(−6,8)。和(0,5)、大きさ 5。 - 解答：13
解説：→AB=(5, −12)、大きさ √(25+144)=√169=13。 - 解答：k=−2
解説：3×4 − k×(−6)=0 → 12+6k=0 → k=−2。