位置ベクトル② 内分点と中点
線分を内分する点・中点の位置ベクトルを公式化します。これがあれば座標計算が一気に楽になります。
内分点の公式
2 点 A(→a)、B(→b) について、線分 AB を m:n に内分する点 P の位置ベクトル →p は
→p = (n→a + m→b) / (m + n)
覚え方：「遠い方の比 × 遠い方のベクトル」
P は A 寄りに n、B 寄りに m の距離なので、A の重み n、B の重み m。重みは交差します。
中点
m=n=1 の特別な場合。線分 AB の中点 M の位置ベクトルは
→m = (→a + →b) / 2
📘 例題①
A(1, 2)、B(7, 5) のとき、線分 AB を 2:1 に内分する点 P と中点 M の座標を求めなさい。
解答：P：(1×→a + 2×→b)/3 = ((1+14)/3, (2+10)/3) = (5, 4)
M：((1+7)/2, (2+5)/2) = (4, 7/2)
P(5, 4)、M(4, 7/2)。
A(1, 2)、B(7, 5) のとき、線分 AB を 2:1 に内分する点 P と中点 M の座標を求めなさい。
解答：P：(1×→a + 2×→b)/3 = ((1+14)/3, (2+10)/3) = (5, 4)
M：((1+7)/2, (2+5)/2) = (4, 7/2)
P(5, 4)、M(4, 7/2)。
三角形の重心
三角形 ABC の頂点を →a, →b, →c とすると、重心 G の位置ベクトルは
→g = (→a + →b + →c) / 3
📘 例題②
A(0, 1)、B(3, −2)、C(6, 4) の重心 G を求めなさい。
解答：G = ((0+3+6)/3, (1−2+4)/3) = (3, 1)
A(0, 1)、B(3, −2)、C(6, 4) の重心 G を求めなさい。
解答：G = ((0+3+6)/3, (1−2+4)/3) = (3, 1)
💡 ポイント
- 内分点：(n→a + m→b)/(m+n) ← 重みが交差
- 中点：(→a + →b)/2
- 重心：3 頂点の位置ベクトルの平均
練習問題
- A(2, −1)、B(5, 8) のとき、AB を 1:2 に内分する点 P と中点 M を求めなさい。
- 三角形 ABC で A(1, 2)、B(4, −1)、C(7, 5) の重心を求めなさい。
- 三角形 OAB で →OA=→a、→OB=→b。辺 AB を 3:2 に内分する点 P について →OP を表しなさい。
解答・解説
- 解答：P(3, 2)、M(7/2, 7/2)
解説：P=(2×A+1×B)/3=((4+5)/3,(−2+8)/3)=(3, 2)。M=((2+5)/2,(−1+8)/2)=(7/2, 7/2)。 - 解答：(4, 2)
解説：(1+4+7)/3=4、(2−1+5)/3=2。 - 解答：→OP=(2→a+3→b)/5
解説：3:2 に内分 → 重みは交差で A に 2、B に 3。