数列の極限② 等比数列の極限
公比 r の等比数列 a_n = r^n の極限は、r の値によって挙動が大きく変わります。これは無限等比級数や指数関数の極限とも深く関わる重要な内容です。
r^n の極限
n → ∞ のときの r^n は、次のように場合分けされます。
- r > 1 のとき：r^n → ∞（正の無限大に発散）
- r = 1 のとき：r^n = 1 → 1（収束）
- |r| < 1（−1 < r < 1）のとき：r^n → 0（収束）
- r = −1 のとき：r^n = +1, −1, +1, … → 振動（発散）
- r < −1 のとき：絶対値は無限大、符号は交互 → 振動（発散）
収束するのは −1 < r ≦ 1 のときだけです。
📘 例題①
次の極限を求めなさい。
(1) lim_{n→∞} (1/2)^n (2) lim_{n→∞} 3^n (3) lim_{n→∞} (−1/3)^n
解答：
(1) |1/2| < 1 → 0
(2) 3 > 1 → ∞
(3) |−1/3| < 1 → 0
次の極限を求めなさい。
(1) lim_{n→∞} (1/2)^n (2) lim_{n→∞} 3^n (3) lim_{n→∞} (−1/3)^n
解答：
(1) |1/2| < 1 → 0
(2) 3 > 1 → ∞
(3) |−1/3| < 1 → 0
分母分子に指数を含む極限
(a^n + b^n)/(c^n + d^n) のような形では、底の絶対値が最大の項で分母分子を割るのが定石です。
例：lim_{n→∞} (3^n − 2^n)/(3^n + 2^n)。分母分子を 3^n で割って
= lim (1 − (2/3)^n)/(1 + (2/3)^n) = (1 − 0)/(1 + 0) = 1
📘 例題②
lim_{n→∞} (4^n + 1)/(4^n − 2^n) を求めなさい。
解答：分母分子を 4^n で割る。
= lim (1 + 1/4^n)/(1 − (1/2)^n) = (1 + 0)/(1 − 0) = 1
lim_{n→∞} (4^n + 1)/(4^n − 2^n) を求めなさい。
解答：分母分子を 4^n で割る。
= lim (1 + 1/4^n)/(1 − (1/2)^n) = (1 + 0)/(1 − 0) = 1
💡 ポイント
- r^n は |r| < 1 で 0、r = 1 で 1 に収束。それ以外は発散
- r = −1 や r < −1 は振動。「振動も発散」
- 指数の和差の極限では、底の絶対値が最大の項で割る
- 収束範囲 −1 < r ≦ 1 を正確に覚える
練習問題
- lim_{n→∞} (2^n + 3^n)/(3^n + 1) を求めなさい。
- r^n が収束するような r の範囲を答えなさい。
- lim_{n→∞} (3^{n+1} − 2^n)/(3^n + 2^{n+1}) を求めなさい。
解答・解説
- 解答：1
解説：分母分子を 3^n で割る。((2/3)^n + 1)/(1 + 1/3^n) → 1。 - 解答：−1 < r ≦ 1
解説：|r|<1 で 0 に収束、r=1 で 1 に収束。 - 解答：3
解説：3^{n+1}=3·3^n、2^{n+1}=2·2^n。分母分子を 3^n で割る：(3−(2/3)^n)/(1+2·(2/3)^n) → 3。