数列の極限④ 漸化式と極限
漸化式で定義された数列の極限を考えます。「収束するなら極限値はいくらか」を方程式で求めるテクニックを学びます。
漸化式の極限の考え方
a_{n+1} = f(a_n) が α に収束するとき、両辺の n→∞ をとり
α = f(α)
で極限値が求まります（収束が前提）。
📘 例題①
a_1=1、a_{n+1}=(1/2)a_n+3 の極限値を求めなさい。
解答：α = (1/2)α + 3 → α = 6
a_1=1、a_{n+1}=(1/2)a_n+3 の極限値を求めなさい。
解答：α = (1/2)α + 3 → α = 6
線形漸化式の一般項と収束
a_{n+1} = r·a_n + c のとき、α = c/(1−r) として
a_{n+1} − α = r(a_n − α)
a_n = α + r^{n−1}(a_1 − α)
|r|<1 なら a_n → α（収束）。
📘 例題②
a_1=5、a_{n+1}=(1/3)a_n+2 の一般項と極限。
解答：α = 2/(2/3) = 3。a_n = 3 + 2·(1/3)^{n−1}。lim = 3
a_1=5、a_{n+1}=(1/3)a_n+2 の一般項と極限。
解答：α = 2/(2/3) = 3。a_n = 3 + 2·(1/3)^{n−1}。lim = 3
はさみうちの原理
b_n ≦ a_n ≦ c_n、lim b_n = lim c_n = α なら lim a_n = α。
例：lim (sin n)/n。−1/n ≦ (sin n)/n ≦ 1/n、両端 → 0 なので lim = 0。
💡 ポイント
- 漸化式の極限：α = f(α) を解く（収束が前提）
- 線形漸化式：α = c/(1−r)、|r|<1 で収束
- 一般項：a_n = α + r^{n−1}(a_1 − α)
- はさみうちで上下を同じ極限値で押さえる
練習問題
- a_1=0、a_{n+1}=(1/4)a_n+3 の極限を求めなさい。
- lim_{n→∞} (cos n²)/n をはさみうちで求めなさい。
- a_1=8、a_{n+1}=(3/4)a_n+1 の一般項と極限を求めなさい。
解答・解説
- 解答：4
解説：α = 3/(3/4) = 4。 - 解答：0
解説：−1/n ≦ (cos n²)/n ≦ 1/n、両端 → 0。 - 解答：a_n = 4 + 4·(3/4)^{n−1}、lim = 4
解説：α = 1/(1/4) = 4。a_n − 4 = (3/4)^{n−1}·(8−4) = 4·(3/4)^{n−1}。