微分法④ 高次導関数と接線の傾き
導関数 f'(x) をさらに微分したものが第2次導関数 f''(x)、それを微分したものが第3次導関数 f'''(x) と続きます。
y = f(x) のグラフ上の点 (a, f(a)) における接線の方程式は
y − f(a) = f'(a)·(x − a)
📘 例題① f(x) = x³ − 2x の x = 1 における接線の方程式を求めよ。
解答：f(1) = −1、f'(x) = 3x²−2、f'(1) = 1。
接線：y − (−1) = 1·(x − 1) → y = x − 2
解答：f(1) = −1、f'(x) = 3x²−2、f'(1) = 1。
接線：y − (−1) = 1·(x − 1) → y = x − 2
📘 例題② f(x) = x⁴ の f''(x) と f'''(x) を求めよ。
解答：f'(x) = 4x³、f''(x) = 12x²、f'''(x) = 24x
解答：f'(x) = 4x³、f''(x) = 12x²、f'''(x) = 24x
💡 ポイント
- 接線の傾き = その点での微分係数 f'(a)
- 第2次導関数 f''(x) は加速度・凸凹の判定に使う
練習問題
- y = x² − 3x の x = 2 における接線
- f(x) = x⁵ の f''(x)
解答・解説
- 解答：y = x − 4
f(2)=−2、f'(x)=2x−3、f'(2)=1。y−(−2)=1·(x−2)。 - 解答：20x³