組合せ② 二項定理
(a+b)^n = Σ[k=0 to n] nCk × a^(n-k) × b^k
📘 例題①
(x+2)^4 を展開：x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16
(x+2)^4 を展開：x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16
📘 例題②（特定項）
(2x−1)^6 の x³ の係数：k=3 のとき 6C3 × 2³ × (−1)³ = 20×8×(−1) = −160
(2x−1)^6 の x³ の係数：k=3 のとき 6C3 × 2³ × (−1)³ = 20×8×(−1) = −160
💡 ポイント
- 一般項：nCk × a^(n-k) × b^k
- a=b=1代入：Σ nCk = 2^n
- パスカルの三角形：nCr = (n-1)C(r-1) + (n-1)Cr
練習問題
- (x+1)^5 を展開しなさい。
- (a−2b)^4 の a²b² の係数を求めよ。
- (1+x)^10 の x^4 の係数を求めよ。
解答
- x⁵+5x⁴+10x³+10x²+5x+1
- 4C2×(−2)²=6×4=24
- 10C4=210