整数問題の解法（因数分解・場合分け）
整数問題の典型的な解法パターンを習得します。
パターン①：積の形に変形
方程式を整理して「A×B=定数」の形にして、約数の組み合わせを調べる。
📘 例題①（積に変形）
xy + 2x + 3y = 11 の整数解をすべて求めよ。
xy+2x+3y+6 = 17 → (x+3)(y+2) = 17
17 は素数 → (x+3, y+2) = (1,17),(17,1),(−1,−17),(−17,−1)
(x,y) = (−2,15),(14,−1),(−4,−19),(−20,−3)
解答：(x,y) = (−2,15),(14,−1),(−4,−19),(−20,−3)
xy + 2x + 3y = 11 の整数解をすべて求めよ。
xy+2x+3y+6 = 17 → (x+3)(y+2) = 17
17 は素数 → (x+3, y+2) = (1,17),(17,1),(−1,−17),(−17,−1)
(x,y) = (−2,15),(14,−1),(−4,−19),(−20,−3)
解答：(x,y) = (−2,15),(14,−1),(−4,−19),(−20,−3)
パターン②：偶奇による場合分け
📘 例題②（偶奇の利用）
x²+y²=z² を満たす正整数 (x,y,z) で x,y がともに奇数の場合、矛盾を示せ。
奇数² ≡ 1(mod 4) より x²+y²≡2(mod 4)。しかし z² ≡ 0 or 1(mod 4) なので z²≡2 は不可能 → 矛盾 ■
x²+y²=z² を満たす正整数 (x,y,z) で x,y がともに奇数の場合、矛盾を示せ。
奇数² ≡ 1(mod 4) より x²+y²≡2(mod 4)。しかし z² ≡ 0 or 1(mod 4) なので z²≡2 は不可能 → 矛盾 ■
パターン③：mod による絞り込み
📘 例題③
p, q が素数で p+q=50 のとき、(p,q) の組をすべて求めよ。
一方が2でなければ両方奇数 → 和は偶数 → 50（偶数）になる可能性あり。
ただし p=2 のとき q=48（素数でない）。3: q=47(素数)✓。5: q=45(×)。7: q=43(✓)。11: q=39(×)。13: q=37(✓)。19: q=31(✓)。
解答：(3,47),(7,43),(13,37),(19,31) とその対称
（p≤q として4組）
p, q が素数で p+q=50 のとき、(p,q) の組をすべて求めよ。
一方が2でなければ両方奇数 → 和は偶数 → 50（偶数）になる可能性あり。
ただし p=2 のとき q=48（素数でない）。3: q=47(素数)✓。5: q=45(×)。7: q=43(✓)。11: q=39(×)。13: q=37(✓)。19: q=31(✓)。
解答：(3,47),(7,43),(13,37),(19,31) とその対称
（p≤q として4組）
💡 ポイント
- 整数解 → 積=定数の形にして約数の組を列挙
- 偶奇 → mod 2、mod 4 で考える
- 素数問題 → 2 以外は奇数であることを利用
練習問題
- xy − x − y = 4 の整数解をすべて求めよ。
- x² − y² = 35 を満たす正整数 (x,y) をすべて求めよ。
- n が整数のとき、n²+n+1 は偶数にならないことを示せ。
解答・解説
- (x−1)(y−1)=5。組み合わせ：(x−1,y−1)=(1,5),(5,1),(−1,−5),(−5,−1) → (x,y)=(2,6),(6,2),(0,−4),(−4,0)
- (x+y)(x−y)=35。x+y>x−y>0（正整数より）。35=35×1=7×5。x+y=35,x−y=1→(18,17)。x+y=7,x−y=5→(6,1)。(x,y)=(18,17),(6,1)
- n²+n+1=n(n+1)+1。n(n+1) は連続整数の積なので偶数 → n(n+1)+1 は奇数 → 偶数にならない ■