因数分解③ 応用・複雑な式
置き換えを使った因数分解や、複数の公式を組み合わせる応用問題を学びます。
置き換えを利用した因数分解
📘 例題1
(x＋1)²＋3(x＋1)＋2 を因数分解しなさい。
解答：
A＝x＋1 とおくと：A²＋3A＋2
積が2・和が3 → (A＋1)(A＋2)
元に戻す：(x＋2)(x＋3)
(x＋2)(x＋3)
(x＋1)²＋3(x＋1)＋2 を因数分解しなさい。
解答：
A＝x＋1 とおくと：A²＋3A＋2
積が2・和が3 → (A＋1)(A＋2)
元に戻す：(x＋2)(x＋3)
(x＋2)(x＋3)
共通因数＋たすき掛けの組み合わせ
📘 例題2
2x²－8 を因数分解しなさい。
解答：
共通因数2をくくる：2(x²－4)
和と差の積：2(x＋2)(x－2)
2(x＋2)(x－2)
2x²－8 を因数分解しなさい。
解答：
共通因数2をくくる：2(x²－4)
和と差の積：2(x＋2)(x－2)
2(x＋2)(x－2)
因数分解の活用（方程式）
📘 例題3
x²－7x＋12＝0 を解きなさい。
解答：
因数分解：(x－3)(x－4)＝0
x＝3 または x＝4
x²－7x＋12＝0 を解きなさい。
解答：
因数分解：(x－3)(x－4)＝0
x＝3 または x＝4
💡 ポイント
- 複雑な式は「置き換え（A=...）」で単純化する
- まず共通因数→次に公式の順で考える
- 因数分解した後は展開して確認する習慣をつける
練習問題
- 3x²－12 を因数分解しなさい。
- (x－2)²－5(x－2)＋6 を因数分解しなさい。
解答・解説
- 解答：3(x＋2)(x－2)
解説：共通因数3をくくる：3(x²－4)。次に和と差の積：x²－4＝x²－2²＝(x＋2)(x－2)。よって 3x²－12＝3(x＋2)(x－2)。 - 解答：(x－4)(x－1)
解説：A＝x－2とおくと：A²－5A＋6。積が6・和が－5になる2数：－2と－3。(A－2)(A－3)。元に戻す：(x－2－2)(x－2－3)＝(x－4)(x－5)。確認：A=x-2として(A-2)(A-3)=(x-4)(x-5)を展開：x²-9x+20。(x-2)²-5(x-2)+6=x²-4x+4-5x+10+6=x²-9x+20 ✓