おうぎ形④ 面積の公式
おうぎ形の 面積 を求める公式を学びます。考え方は弧の長さと同じで、「中心角が円全体の何分の1か」を使います。
面積の公式（中心角を使う）
半径 r、中心角 a 度のおうぎ形の面積 S は、
S ＝ πr² × (a/360)
意味：おうぎ形は、半径 r の円の面積（πr²）のうち、中心角 a 度がしめる割合（a/360）の部分です。
📘 例題①
半径 6 cm、中心角 60° のおうぎ形の面積を求めなさい。π はそのまま残すこと。
解答：
S = π × 6² × (60/360) = 36π × (1/6) = 6π（cm²）
半径 6 cm、中心角 60° のおうぎ形の面積を求めなさい。π はそのまま残すこと。
解答：
S = π × 6² × (60/360) = 36π × (1/6) = 6π（cm²）
弧の長さを使った面積の公式
弧の長さ ℓ がわかっているときに使える便利な公式：
S ＝ (1/2) × r × ℓ
意味：おうぎ形は「底辺 ＝ 弧の長さ、高さ ＝ 半径」とみなした三角形のような形（実際は曲がっているが、面積の比は同じ）。
📘 例題②
半径 8 cm、弧の長さ 6π cm のおうぎ形の面積を求めなさい。
解答：
S = (1/2) × 8 × 6π = 24π（cm²）
半径 8 cm、弧の長さ 6π cm のおうぎ形の面積を求めなさい。
解答：
S = (1/2) × 8 × 6π = 24π（cm²）
確かめ計算
例題② を中心角を使った公式でも確かめてみます。
弧 6π = 2π × 8 × (a/360) → 6π = 16π × (a/360) → a/360 = 6/16 = 3/8 → a = 135°。
面積 S = π × 8² × (135/360) = 64π × (3/8) = 24π。確かに 24π です。
💡 ポイント
- 面積 S = πr² × (a/360)
- 弧の長さがわかれば S = (1/2)rℓ が便利
- 「弧と半径から、(1/2) × 半径 × 弧」と覚える
- 計算の途中で π はそのまま、最後の答えにも π を残す
練習問題
- 半径 10 cm、中心角 72° のおうぎ形の面積を求めなさい（π はそのまま）。
- 半径 5 cm、弧の長さ 4π cm のおうぎ形の面積を求めなさい。
- 半径 6 cm のおうぎ形で面積が 9π cm² のとき、中心角を求めなさい。
解答・解説
- 解答：20π cm²
解説：S = π×100×72/360 = 100π × 1/5 = 20π。 - 解答：10π cm²
解説：S = (1/2)×5×4π = 10π。 - 解答：90°
解説：S = π×36×a/360 = 9π → 36a/360 = 9 → a/10 = 9 → a = 90°。