命題論理と真理値表
概念解説
「命題論理（Propositional Logic）」は、文を真（T）か偽（F）で評価し、論理結合子で組み合わせる体系です。
主な論理結合子と意味:
- 否定（¬P）: P が真なら偽、偽なら真。
- 連言（P ∧ Q）: P と Q が両方真のときのみ真。
- 選言（P ∨ Q）: P か Q の少なくとも一方が真なら真（「または」は通常包含的論理和）。
- 含意（P → Q）: P が真で Q が偽のときだけ偽。P が偽なら Q の真偽にかかわらず真。
- 双条件（P ↔ Q）: P と Q の真偽が一致するとき真。
「真理値表」はすべての真偽の組み合わせを列挙し、複合命題の真偽を確認する表です。n 個の命題変数があると 2ⁿ 行の表が必要です。
「恒真命題（トートロジー）」はすべての真偽割り当てで真になる命題です（例: P ∨ ¬P）。「矛盾（コントラディクション）」は常に偽です（例: P ∧ ¬P）。
例題
問題
「P → Q」が真で「¬Q」が真のとき、「¬P」は真か偽か。また、この推論形式の名前を答えなさい。
このレッスンのポイント
- 1 含意「P→Q」は P が偽のとき Q の値によらず真になる（「偽からは何でも導ける」）。
- 2 トートロジーはすべての行で真、矛盾はすべての行で偽。
- 3 Modus Ponens: P→Q, P ∴ Q。Modus Tollens: P→Q, ¬Q ∴ ¬P。
- 4 ド・モルガンの法則: ¬(P∧Q) ≡ ¬P∨¬Q、¬(P∨Q) ≡ ¬P∧¬Q。
- 5 対偶（P→Q の対偶は ¬Q→¬P）は元の命題と同値。逆・裏は同値でない。