命題論理と真理値表
📖 概念解説
「命題論理 (Propositional Logic)」は、文を真 (T) か偽 (F) で評価し、論理結合子で組み合わせる体系です。
主な論理結合子と意味:
- 否定 (¬P): P が真なら偽、偽なら真。
- 連言 (P ∧ Q): P と Q が両方真のときのみ真。
- 選言 (P ∨ Q): P か Q の少なくとも一方が真なら真 (「または」は通常包含的論理和)。
- 含意 (P → Q): P が真で Q が偽のときだけ偽。P が偽なら Q の真偽にかかわらず真。
- 双条件 (P ↔ Q): P と Q の真偽が一致するとき真。
「真理値表」はすべての真偽の組み合わせを列挙し、複合命題の真偽を確認する表です。n 個の命題変数があると 2ⁿ 行の表が必要です。
「恒真命題 (トートロジー)」はすべての真偽割り当てで真になる命題です (例: P ∨ ¬P)。「矛盾 (コントラディクション)」は常に偽です (例: P ∧ ¬P)。
✏️ 例題
問題
「P → Q」が真で「¬Q」が真のとき、「¬P」は真か偽か。また、この推論形式の名前を答えなさい。
💡 このレッスンのポイント
- 1 含意「P→Q」は P が偽のとき Q の値によらず真になる (「偽からは何でも導ける」)。
- 2 トートロジーはすべての行で真、矛盾はすべての行で偽。
- 3 Modus Ponens: P→Q, P ∴ Q。Modus Tollens: P→Q, ¬Q ∴ ¬P。
- 4 ド・モルガンの法則: ¬(P∧Q) ≡ ¬P∨¬Q、¬(P∨Q) ≡ ¬P∧¬Q。
- 5 対偶 (P→Q の対偶は ¬Q→¬P) は元の命題と同値。逆・裏は同値でない。