集合論と論理
📖 概念解説
「集合論 (Set Theory)」は論理学・数学の基礎であり、要素の集まりとその関係を扱います。
基本概念:
- 部分集合 (A ⊆ B): A のすべての要素が B にも含まれる。
- 和集合 (A ∪ B): A か B の少なくとも一方に属する要素全体 = 論理和 (OR)。
- 積集合・共通部分 (A ∩ B): A と B 両方に属する要素全体 = 論理積 (AND)。
- 補集合 (Aᶜ): 全体集合 U から A を除いた要素全体 = 否定 (NOT)。
- 差集合 (A − B): A に属するが B には属さない要素全体。
集合と命題論理は対応します。「A に属する x」を命題 P(x)、「B に属する x」を Q(x) と見ると、∩ は ∧、∪ は ∨、補集合は ¬ に対応します。ド・モルガンの法則も集合で成立: (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ。
「包除原理」は重複をカウントする強力な技法です: |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|。3集合版: |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| − |A∩B| − |B∩C| − |A∩C| + |A∩B∩C|。
✏️ 例題
問題
100人の生徒のうち、数学が好きな生徒は60人、英語が好きな生徒は50人、どちらも好きな生徒は25人いる。どちらも好きでない生徒は何人か。
💡 このレッスンのポイント
- 1 集合の ∪ ∩ と命題論理の ∨ ∧ は完全に対応する。
- 2 ド・モルガン: (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ、(A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ。
- 3 包除原理: |A∪B| = |A|+|B|−|A∩B|。3集合以上も拡張できる。
- 4 「すべての A は B」は A ⊆ B と表現できる。
- 5 ヴェン図は問題を視覚化し、計算ミスを減らす強力な道具。