集合論と論理
概念解説
「集合論（Set Theory）」は論理学・数学の基礎であり、要素の集まりとその関係を扱います。
基本概念:
- 部分集合（A ⊆ B）: A のすべての要素が B にも含まれる。
- 和集合（A ∪ B）: A か B の少なくとも一方に属する要素全体 = 論理和（OR）。
- 積集合・共通部分（A ∩ B）: A と B 両方に属する要素全体 = 論理積（AND）。
- 補集合（Aᶜ）: 全体集合 U から A を除いた要素全体 = 否定（NOT）。
- 差集合（A − B）: A に属するが B には属さない要素全体。
集合と命題論理は対応します。「A に属する x」を命題 P(x)、「B に属する x」を Q(x) と見ると、∩ は ∧、∪ は ∨、補集合は ¬ に対応します。ド・モルガンの法則も集合で成立: (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ。
「包除原理」は重複をカウントする強力な技法です: |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|。3集合版: |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| − |A∩B| − |B∩C| − |A∩C| + |A∩B∩C|。
例題
問題
100人の生徒のうち、数学が好きな生徒は60人、英語が好きな生徒は50人、どちらも好きな生徒は25人いる。どちらも好きでない生徒は何人か。
このレッスンのポイント
- 1 集合の ∪ ∩ と命題論理の ∨ ∧ は完全に対応する。
- 2 ド・モルガン: (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ、(A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ。
- 3 包除原理: |A∪B| = |A|+|B|−|A∩B|。3集合以上も拡張できる。
- 4 「すべての A は B」は A ⊆ B と表現できる。
- 5 ヴェン図は問題を視覚化し、計算ミスを減らす強力な道具。